Экспорт отдельного выделенного фрагмента в Affinity Designer сейчас возможен через простой экспорт (File-Export, далее в поле Area выбрать Selection with background или Selection without background, соответственно в русском интерфейсе Файл-Экспорт, далее в поле Область выбрать Выделение с фоном или Выделение без фона).
Более сложный экспорт произвольных фрагментов (slices), монтажных областей, и пакетный экспорт фрагментов реализован через отдельный режим Экспорт (Export Persona).
Ниже видео, как пользоваться режимом Экспорт в Affinity Designer