Ответ: Сложнейший математический вопрос
Alexey Shadrin сказал(а):
Вопрос: a^1/3 и корень кубический из а -- это одно и то же; существует ли какая-нибудь тонкая смысловая разница в написании уравнений?
Прошу прощения, что сразу не заметил.
Вопрос, как оно обычно и бывает, очень тонкий. В самом простом случае корень кубический и функция x^1/3 можно не различать. Однако стоит нам только вспомнить про существование отрицательных чисел, как картина начинает разительно меняться.
Во-первых, вещественная степенная функция y=x^a вещественного аргумента x имеет смысл только для положительных x. Корень же кубический иногда определяют, как функцию обратную x^3. А x^3 - это, с одной стороны, степенная функция (не имеет смысла для отрицательных x), а с другой - x^3=x*x*x (имеет смысл для отрицательных x).
Во-вторых, вещественный числа можно ещё расширить до комплексных. И в этом случае начинаются проблемы топологического плана. Чтобы долго не рассусоливать, предлагаю забыть о комплексных числах, как о кошмарном сне. Тем более, что в наших приложениях они не используются.
Итого:
а) для того, чтобы навести хоть какое-то подобие порядка, в математике различают три вида корней - корень арифметический, корень алгебраический и корень "просто"
б) корень арифметический степени N определён только для положительных аргументов (совпадает с показательной функцией x^1/N)
в) корень алгебраический степени N есть функция, обратная к x*x*...*x (N раз). Соответственно, корень алгебраический опредлён для неотрицательных аргументов всегда и для отрицательных при нечётном N
г) корень "просто" - автор или сам не знает, какой корень ему нужен, или считает, что читатель способен сам разобраться с вопросом. Или это книга оперирует комплексными числами, что требует совсем другого уровня понимания предмета
д) обозначения для корней: корень "просто" - галочка с горизонтальной палочкой справа (самый распространённый знак), корень арифметический - галочка с горизонтальной палочкой справа + небольшая горизонтальная палочка слева ("подставка" под степень корня), корень алгебраический - галочка с горизонтальной палочкой справа + небольшая косая палочка слева ("подставка" под степень корня).
А теперь самое страшное - последний раз с этими тонкостями имел дело на первом курсе (95-й год), могу легко перепутать обозначения арифметического и алгебраического корней. Что не страшно, ибо в современном книжном наборе всё равно используют не тот символ, который нужен, но тот, который есть в гарнитуре. Да и стандарт de facto LaTeX не содержит команд для набора трёх видов корней, но только одну команду \sqrt[n]{x}.
Резюме. В наших приложениях корень кубический и x^1/3 вполне можно использовать как синонимы. Знающий читатель разберётся, незнающий не отличит.